1. 1+3+⋯+(2⋅n−1)=n2

1+3+⋯+(2⋅n−1)=n(2n−1+1)2=n2

2.

1+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6

证明：

(n−1)3=n3−3n2+3n−1

S3=13+23+33+⋯+n3S2=12+22+32+⋯+n2S1=1+2+3+⋯+n

目标是消去 S3，当然使用 (n+1)3 也是可以的

S3−3S2+3S1−n==(1−1)3+(2−1)3+⋯+(n−1)3S3−n3

S2=3S1+n3−n3=n(n+1)(2n+1)6

3. S11=1⋅n+2⋅(n−1)+⋯n⋅1=n(n+1)(n+2)6

配方；

根据 (n+1)2=n2+2n+1

S2=12+22+⋯+n2S2=n2+(n−1)2+⋯+12S11=1⋅n+2⋅(n−1)+⋯n⋅1

则 2S2+2S11=n⋅(n+1)2

因此 S11=n(n+1)(n+2)6

4. 13+23+33+⋯+n3=[n(n+1)2]2

错位相加：

S3=S3=13+n3+23+(n−1)3+33+⋯+(n−2)3⋯+n313

两式相加（而不是相减）：

2S3=+++(n+1)(n2−1⋅n+12)(n+1)((n−1)2−2⋅(n−1)+22)⋯(n+1)(12−n⋅1+n2)

因此，2S3=(n+1)(2S2−S11)，最终解得 S3=[n(n+1)2]2